Teoria dos Conjuntos Fuzzy

Rodrigo Regis

Um Conjunto Fuzzy é definido em um universo de discurso (conjunto base) X, e caracterizado pela sua função de pertinência:

A : X -> [0,1]

onde A(x) representa o grau com que x pertence a A e expressa a extensão com que x se enquadra na categoria representada por A.

Uma função de pertinência particular pode ser visualizada por meio da Equação ( 1 ). Como constata-se esta função é triangular e as variáveis a, b e c são parâmetros da função.

Equação (1)

Conforme definido anteriormente, a teoria dos Conjuntos Fuzzy é uma extensão da teoria dos Conjuntos Tradicionais. Assim, as principais operações e relações entre Conjuntos Fuzzy são definidas como extensão das operações e relações tradicionais, como pode ser visto na Tabela 1, onde A e B denotam Conjuntos Fuzzy sobre um conjunto base X e A(x) e B(x) representam os graus de pertinência de x nos Conjuntos Fuzzy A e B respectivamente.

N°	Operação	Representação	Natureza
1	Complemento	ØA(x) = 1 - A(x)	Operação
2	Diferença	(A ¹ B) se A(x) ¹ B(x) para pelo menos um elemento de x Î X	Relação
3	Igualdade	(A = B) se A(x) = B(x) para todo x Î X	Relação
4	Inclusão	(A Í B) se A(x) £ B(x) para todo xÎX	Relação
5	Intersecção	A ÇB = A(x) Ç B(x) = min [A(x), B(x)]	Operação
6	União	AÈB = A(x) È B(x) = max [A(x), B(x)]	Operação

Além das operações e das relações os Conjuntos Fuzzy possuem algumas características especiais. Entre tais características encontram-se: Corte a, Conjunto de Níveis, Suporte, Altura e Normalização. A seguir tais características serão apresentadas de forma sintética, supondo que A é um Conjunto Fuzzy sobre o conjunto base X.

Corte a

O Corte a (^aA) de um Conjunto Fuzzy A corresponde ao Conjunto Tradicional que contém todos os elementos do conjunto universo X com grau de pertinência em A maior ou igual a a, enquanto que o Corte a forte (^a+A) contém todos os elementos em um conjunto universo X com grau maior que a, onde a pertence [0,1].

Conjunto de Níveis

O Conjunto de Níveis (L) de um Conjunto Fuzzy A corresponde a um conjunto que contém todos os valores a percente [0,1] e que representam Cortes a de A distintos. O Conjunto de Níveis do Conjunto Fuzzy A é representado formalmente por:

LA = {a | A(x) = a para algum x pertence X} ( 11 )

Suporte

O Suporte de um Conjunto Fuzzy A, em um conjunto universo X, é o Conjunto Tradicional que contém todos os elementos de X que possuem grau de pertinência diferente de zero em A. Claramente, o Suporte de A é exatamente o mesmo que o Corte a forte de A para a = 0. Vários símbolos especiais costumam ser usados para representar o Suporte de um conjunto, tais como: S(A) ou supp(A). Este trabalho usará a simbologia de ⁰⁺A para esta representação.

⁰⁺A = {x pertence X | A(x) > 0} ( 12 )

Altura

A Altura (h) de um Conjunto Fuzzy A corresponde ao seu maior grau de pertinência, entre todos os elementos do conjunto.

h(A) = sup_{x pertence X} A(x) ( 13 )

Normalização

Um Conjunto Fuzzy A é chamado de Normal quando a sua Altura é igual a 1, ou seja, pelo menos um grau de pertinência, dos elementos do conjunto, possui valor máximo, enquanto que os conjuntos que não possuem Altura igual a um são chamados de subnormal. Portanto:

A é dito normal se h(A) = 1

A é dito subnormal se h(A) < 1

Caso um Conjunto Fuzzy possua apenas um elemento com grau de pertinência igual a um, este elemento é denominado protótipo do conjunto. Um Conjunto Fuzzy não normalizado pode ser normalizado por meio da divisão dos graus de pertinência de cada elemento, pelo maior grau de pertinência encontrado no conjunto.

Definidas as características especiais dos Conjuntos Fuzzy se faz necessário apresentar as Proposições Fuzzy extraídas de, para um posterior entendimento deste trabalho.